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一、引例

1．切线问题

圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”.但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线，在原点处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线.下面给出切线的定义.

设有曲线及上的一点（图2-1），在点外另取上一点，作割线.当点沿曲线趋于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线.这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零.

现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题.设是曲线上的一个点（图2-2），则.根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了.为此，在点外另取上的一点，于是割线的斜率为

，

其中为割线的倾角.当点沿曲线趋于点时，.如果当时，上式的极限存在，设为,即

存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里，其中是切线的倾角.于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线.事实上，由以及时，可见时（这时），.因此直线确为曲线在点处的切线.

2．质点沿直线运动的速度

设某点沿直线运动.在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴.此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点.设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置）.这样，运动完全由某个函数

所确定.这函数对运动过程中所出现的值有定义，称为位置函数.在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说，无论取哪一段时间间隔，比值

经过的路程

所花的时间

总是相同的.这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动.如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值.这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑.那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为）的速度应如何理解而又如何求得呢？

首先取从时刻到这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置移动到.这时由①式算得的比值

可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻的速度.但对于动点在时刻的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令,取②式的极限，如果这个极限存在，设为，即，这时就把这个极限值称为动点在时刻的（瞬时）速度.

二、导数的定义

1．函数在一点处的导数与导函数

定义  设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即

也可记作，或.

函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在.

导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有

和

    2．求导举例

例 1  求函数（为常数）的导数.

解：，即.这就是说，常数的导数等于零.

例 2  求函数（为正整数）在处的导数.

解：

把以上结果中的换成得，即.

更一般地，对于幂函数（为常数），有.这就是幂函数的导数公式.利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：

当时，（）的导数为

，即

当时，（）的导数为

，即

例 3  求函数的导数

解：

即                              

这就是说，正弦函数的导数是余弦函数.

用类似的方法，可求得，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数.

例 4  求函数（）的导数.

解：

即                              

这就是指数函数的导数公式.特殊地，当时，因，故有

上式表明，以为底的指数函数的导数就是它自己，这是以为底的指数函数的一个重要特性.

例 5  

解：

即

3、单侧导数

根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限

及

都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即

，

现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等.

如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导.

例 6  

解：

=1

三、导数的几何意义

是曲线在点的切线斜率；

路程对时间的导数是时刻的速度；

在抽象情况下，表示在点变化的快慢

四、函数的可导性与连续性的关系

定理  如果函数在点处可导，则函数在该点必连续.

证：

，

，

=0

在点处连续是可导的必要条件，而不是充分条件.

例 7  讨论在点连续性与可导性

解：

 在不连续，即在不可导.

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